무한의 구조 (4) - 정수와 유리수 집합의 크기
수학을 처음 배울 때 우리는 자연수, 정수, 유리수, 실수 등 다양한 수 체계를 접하게 됩니다. 이들 사이에는 분명한 포함 관계가 있습니다. 예를 들어, ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ 처럼 말이지요. 그렇다면 이 집합들은 크기도 점점 커지는 것일까요?정수는 자연수보다 더 많은 수를 담고 있고, 유리수는 그보다 더 촘촘해 보이는데, 정말로 더 ‘큰’ 집합일까요?수학적으로 “크기”를 비교할 때는 단순히 원소의 수만 따지지 않습니다. 무한 집합의 경우엔 특히, 서로 일대일 대응이 가능한지가 그 기준이 됩니다. 이 기준에 따르면, 놀랍게도 다음과 같은 결론이 나옵니다:정수 집합 ℤ, 유리수 집합 ℚ, 자연수 집합 ℕ은 모두 같은 크기(기수, cardinality)를 갖는다.이 글에서는 정수와 유리수가 자연수와 “같은 크기”라는..
2025. 7. 9.
