함수의 기초 (7) - 합성함수

함수의 개념은 수학 전반에 걸쳐 핵심적인 도구로 사용됩니다. 특히 두 함수의 결합을 통한 합성 함수(composite function) 개념은 다양한 분야에서 이론적·실용적으로 중요하게 다뤄집니다. 본 글에서는 함수 합성의 정의 및 그 연산이 갖는 주요 성질을 정리해 보겠습니다.

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합성함수

함수 f: X→Y는 집합 X의 임의의 원소 x를 받아 일정한 규칙에 따라 Y의 원소 f(x)로 변환하는 일종의 기계로 이해할 수 있습니다. 이러한 사고 방식은 함수가 단순한 대응 관계를 넘어서 정보를 변환하는 처리 장치로 작동함을 암시할 수 있지요.

 

이와 같은 관점은 두 개의 함수 f: X→Y, g: Y→Z를 결합할 때 더욱 명확해집니다. 예컨대 세탁기와 건조기를 각각 함수 f, g 로 생각한다면, 더러운 옷 x는 세탁기를 거쳐 깨끗하지만 젖은 옷 f(x)가 되고, 이어서 건조기를 통해 마른 옷 g(f(x))으로 완성됩니다. 이 과정을 하나의 함수로 표현하면 h=g∘f로 나타낼 수 있습니다.

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정의

함수 f: X→Y, g: Y→Z가 주어졌을 때, 이 두 함수의 합성(composition)은 함수

g∘f: X→Z

로 정의되며, 모든 x∈X에 대하여 (g∘f)(x)=g(f(x))입니다.
집합론적 정의에 따라 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

g∘f = {(x,z)∈X×Z∣∃y∈Y such that (x,y)∈f ∧ (y,z)∈g}

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예를 들어, 함수 f(x)=x+1, g(x)=x²가 ℝ→ℝ로 정의되어 있을 때, 다음과 같이 계산됩니다:

• (g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)² = x²+2x+1
• (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = x²+1

이로부터 일반적으로 g∘f ≠ f∘g 임을 알 수 있으며, "함수의 합성에는 교환법칙(commutative laws)이 성립하지 않는다"는 중요한 결론을 도출할 수 있습니다.

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함수 f: X→Y, g: Y→Z, h: Z→W가 주어졌을 때, 함수의 합성은 결합법칙(associative law)을 만족합니다.

(h∘g)∘f = h∘(g∘f)

증명.
양변은 모두 X→W의 함수이며, 모든 x∈X에 대해

[(h∘g)∘f](x) = (h∘g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g∘f)(x)) = [h∘(g∘f)](x)

이므로 양 함수는 동일합니다.

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이와 같은 함수 합성의 개념과 성질은 고등수학의 여러 분야에서 핵심적 도구로 작용합니다.

개별 함수의 구조뿐만 아니라, 함수 간의 결합을 통해 더 복잡하고 유의미한 수학적 구조를 탐구할 수 있는 기반이 되지요.