함의

이야기

이전에 "함축의 역설"에서 함축은 "A가 참이면 필연적으로 B도 참"인 조건부 명제라고 했습니다. 여기서 살펴보아야 할 것은 함축은 A나 B가 "거짓"인 경우에 관심이 없다는 것입니다. 함축은 "A가 참일 때 B도 참"이라는 의미일 뿐이므로 형식논리에서는 증명을 완성할 수 없습니다. 그래서 일반적으로 형식논리에서는 함축은 잘 다루지 않습니다. 대신 이 글의 주제인 "함의 (Implication)"를 다루죠.

---

정의

• 두 명제 P, Q에 대하여 조건부 명제인 P → Q가 항진식일 때, 이것을 "함의 (Implication)"라 부르고 "P ⇒ Q"처럼 쓰며 "P implies Q"라고 읽습니다.

---

함축은 가정이 거짓인 경우에 관심이 없지만 함의는 가정이나 결론이 거짓인 경우에도 조건부 연산에 따라 진리값을 도출할 수 있습니다. 여기서 기존의 조건부 연산과 다른 점은 "함의"는 조건부 연산에 의해 도출된 진리값이 "모두 참"인 항진식이라는 것입니다.

---

개념

조건부 연산은 아래의 진리표를 가집니다.

P	Q	P → Q
참	참	참
참	거짓	거짓
거짓	참	참
거짓	거짓	참

 

하지만 함의는 P가 참이고 Q가 거짓인 관계에서도 진리값이 참으로 계산되는 조건부 명제라는 뜻입니다. 위의 진리표처럼 P와 Q에 바로 조건부 연산을 진행하면 모든 진리값이 참임을 도출할 수 없습니다. 따라서 아래와 같이 논리식에 변형이 있어야 합니다.

• P → P ∨ Q

P	Q	P ∨ Q	P → P ∨ Q
참	참	참	참
참	거짓	참	참
거짓	참	참	참
거짓	거짓	거짓	참

• P ∧ Q → P

P	Q	P ∧ Q	P ∧ Q → P
참	참	참	참
참	거짓	거짓	참
거짓	참	거짓	참
거짓	거짓	거짓	참

---

위 논리식처럼 전체 논리식의 진리값이 항진식일 때, 이런 논리식을 "함의 (Implication)"라 부르고 " P ⇒ P ∨ Q", " P ∧ Q ⇒ P"로 쓰고 "P implies P or Q", "P and Q implies P"로 읽는 것입니다.