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이야기
앞서 "조건부 명제"와 그를 만들 수 있는 "조건부 연산"을 살펴봤는데 작성된 설명이 그대로 머리에 쏙쏙 들어오던가요? 그랬다면 다행입니다만.. 사실 저는 이 "조건부 명제"와 "조건부 연산"을 처음 공부할 때 이런 생각을 했습니다.
- 하.. 이 책은 뭔 헛소리를 하고 있는거야? 이거 논리학 맞아?
이런 생각이 왜 들었냐면 내용이 말이 안된다고 느껴졌기 때문이었어요.
예를 들어볼게요.
조건부 연산은 이렇게 정의된다고 했습니다.
| P | Q | P → Q |
| 참 | 참 | 참 |
| 참 | 거짓 | 거짓 |
| 거짓 | 참 | 참 |
| 거짓 | 거짓 | 참 |
상기 진리표에 따르면 "P가 거짓이면 Q는 뭐가 되든지 간에 명제 자체는 참"입니다.
그럼 이런 문장도 참인건가요?
- 8이 홀수이면 6은 소수입니다.
- 내가 미국인이면 비가 옵니다.
- 하늘이 녹색이라면 나는 피자를 먹습니다.
그렇지 않나요? 분명히 "조건부 연산"의 진리표를 가지고 따져보면 위의 문장 자체는 "참"입니다.
증명해보라구요? 8은 짝수이고, 저는 한국인이며, 하늘은 녹색이 아니기 때문이죠!
사실 저 말고도 많은 사람들이 이런 생각을 했던것 같습니다.
왜냐면 위의 문장들처럼 "가정이 거짓"이라서 "조건부 명제 전체가 참"이 되는 경우를 이르는 단어가 있거든요. 바로 아래의 정의에 해당하는 단어입니다.
정의
- 가정이 만족되지 않아서 참이 되는 조건부 명제를 "공허한 진리(vacuous truth)"라고 합니다("Vacuous truth" is a conditional proposition that is true because the antecedent cannot be satisfied).
위의 예시처럼 논리적으로 완전히 틀려버린 문장이 논리적으로 "참"이 되어버리는 상황과 더불어서 "조건부 명제"의 예시였던 "비는 오지 않았지만 땅은 젖은" 상황이라던지 "일도 안했고 돈도 못받은" 상황 모두 "공허한 진리"에 속한다고 볼 수 있습니다.
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