집합들의 집합, 'Family of Sets'란 무엇인가?
수학에서 "집합(set)"은 아주 기초적인 개념입니다. 그런데 어떤 상황에서는 하나의 집합이 아니라, 여러 개의 집합을 한꺼번에 다뤄야 할 필요가 생깁니다.
예를 들어, 여러 학생의 시험 점수 집합, 여러 도시의 기온 변화 집합 등을 생각해볼 수 있습니다. 이때 등장하는 개념이 바로 "집합족(family of sets)", 줄여서 family입니다.
Family란 무엇인가?
간단히 말해, family란 여러 집합들의 모음입니다.
보통 집합은 그 안의 원소들이 서로 모두 달라야 하죠.
하지만 family는 그런 제한이 없습니다. 즉, 같은 집합이 여러 번 등장할 수도 있고, 반복을 허용합니다.
예를 들어볼까요?
F = { {a}, {a,b}, {a} }
이것은 3개의 원소를 가진 집합족입니다. 각 원소는 집합이며, {a}라는 집합이 두 번 들어있어도 괜찮습니다.
반면에, 이 집합족을 하나의 "집합(set)"으로 본다면 중복이 제거되어 다음과 같이 단순화됩니다:
{ {a}, {a,b} }
하지만 수학에서는 중복도 의미 있는 정보일 수 있기 때문에, 반복을 허용하는 family 개념이 따로 쓰입니다. (기술적으로는 multiset 또는 indexed family로 확장됩니다.)
Indexed Family: 색인을 붙인 집합족
보다 명확하게 다루기 위해, 각각의 집합에 이름(색인)을 붙일 수도 있습니다. 이를 색인된 집합족(indexed family of sets)이라고 합니다.
예를 들어보면:
자연수 집합 ℕ을 색인 집합으로 하여 다음과 같은 집합족을 정의할 수 있습니다:
Aₙ = {n,2n} (n∈ℕ)
이 집합족은 이렇게 표현됩니다:
{Aₙ∣n∈ℕ} = { {1,2}, {2,4}, {3,6}, … }
이제 우리는 단순히 집합들의 모음이 아니라, 각각 이름이 붙은 집합들을 체계적으로 다루게 됩니다.
합집합과 교집합: 집합족을 다루는 도구
여러 집합들을 한꺼번에 다룰 때 가장 기본적이면서도 중요한 연산이 합집합(union)과 교집합(intersection)입니다.
합집합 (Union)
집합족 F에 대해, 그 안의 모든 집합에 하나라도 포함되는 원소들을 모은 것:
교집합 (Intersection)
반대로, 모든 집합에 공통으로 포함되는 원소만을 모은 것:
색인 집합이 있는 경우의 표기
색인 집합 I를 기준으로 집합족이 정의되었다면, 표기는 이렇게 바뀝니다:
- 합집합:
- 교집합:
그리고 I = {1, 2, …, n}처럼 유한 집합일 경우에는 더 친숙한 표기인
A₁ ∪ A₂ ∪ ⋯ ∪ Aₙ 및 A₁ ∩ A₂ ∩ ⋯ ∩ Aₙ
이 사용됩니다.
집합의 개념이 원소들의 모음이라면, 집합족은 집합들의 모음입니다.
그리고 이러한 집합족에 대해 합집합과 교집합 연산을 정의함으로써, 우리는 다수의 데이터 구조나 수학적 객체들을 체계적으로 분석할 수 있습니다.
이러한 개념은 집합론을 넘어서 함수, 위상수학, 측도론 등 다양한 수학 분야에서 핵심적으로 사용됩니다.